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MathsTerminale Spé

Dérivation & convexité

Terminale Spécialité Mathématiques · Dérivée seconde, convexité, concavité et points d'inflexion

1. Rappels sur la dérivation

Formules usuelles

FonctionDérivée
xnx^nnxn−1n x^{n-1}
x\sqrt{x}12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
1x\dfrac{1}{x}−1x2-\dfrac{1}{x^2}
exe^xexe^x
ln⁡x\ln x1x\dfrac{1}{x}
sin⁡x\sin xcos⁡x\cos x
cos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin x

Opérations

  • (u+v)′=u′+v′(u+v)' = u' + v'
  • (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'
  • (uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}
  • (f∘g)′(x)=g′(x)⋅f′(g(x))(f \circ g)'(x) = g'(x) \cdot f'(g(x))
  • (eu)′=u′eu(e^u)' = u' e^u, (ln⁡u)′=u′u(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}

2. Dérivée seconde

Définition

La dérivée seconde de ff est la dérivée de f′f', notée f′′f''.

Exemple : f(x)=x3⇒f′(x)=3x2⇒f′′(x)=6xf(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2 \Rightarrow f''(x) = 6x.

3. Convexité et concavité

Définitions

Une fonction ff dérivable sur II est :

  • Convexe : sa courbe est au-dessus de ses cordes et au-dessous... (non, au-dessus de ses tangentes).
  • Concave : sa courbe est au-dessous de ses tangentes.

Théorème (caractérisation par f'')

Sur un intervalle II :

  • f′′(x)≥0 sur If''(x) \geq 0 \text{ sur } I ⟺ ff est convexe sur II.
  • f′′(x)≤0 sur If''(x) \leq 0 \text{ sur } I ⟺ ff est concave sur II.
  • f′′f'' croissante ⟺ f′f' convexe, etc.

4. Point d'inflexion

Définition

Un point d'inflexion est un point où la courbe change de convexité.

Caractérisation : f′′(a)=0f''(a) = 0 et f′′f'' change de signe en aa.

En un point d'inflexion, la tangente traverse la courbe.

Récapitulatif : à retenir absolument

f′′>0f'' > 0f convexef \text{ convexe}
f′′<0f'' < 0f concavef \text{ concave}
f′′(a)=0 (change signe)f''(a) = 0 \text{ (change signe)}point d’inflexion en a\text{point d'inflexion en } a
Convexe\text{Convexe}courbe au-dessus de ses tangentes... non au-dessus des cordes\text{courbe au-dessus de ses tangentes... non au-dessus des cordes}
Concave\text{Concave}courbe au-dessous de ses tangentes\text{courbe au-dessous de ses tangentes}
(uv)′(uv)'u′v+uv′u'v + uv'
(u/v)′(u/v)'u′v−uv′v2\dfrac{u'v - uv'}{v^2}
(f∘g)′(f\circ g)'g′×f′∘gg' \times f'\circ g

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