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Maths2nde

Fonctions — généralités

2nde · Définition, image, antécédent, variations, extremums et parité

1. Définition d'une fonction

Vocabulaire

Une fonction ff associe à chaque nombre xx d'un ensemble D\mathcal{D} (ensemble de définition) un unique nombre noté f(x)f(x).

  • Image de aa par ff : le nombre f(a)f(a).
  • Antécédent de bb par ff : tout xx tel que f(x)=bf(x) = b.
  • Une image est unique, mais un nombre peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.

2. Représentation graphique

Courbe

La courbe représentative de ff, notée Cf\mathcal{C}_f, est l'ensemble des points M(x;f(x))M(x; f(x)).

  • Pour lire f(a)f(a) : lire l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse aa.
  • Pour trouver les antécédents de bb : intersection de Cf\mathcal{C}_f avec la droite y=by = b.

3. Variations

Définitions

Soit ff définie sur un intervalle II. ff est :

  • Croissante sur II si pour tous a,b∈Ia, b \in I : a≤b⇒f(a)≤f(b)a \leq b \Rightarrow f(a) \leq f(b).
  • Décroissante sur II si a≤b⇒f(a)≥f(b)a \leq b \Rightarrow f(a) \geq f(b).
  • Constante si f(x)=cf(x) = c pour tout x∈Ix \in I.

Strictement : avec des inégalités strictes.

Tableau de variations

Un tableau de variations résume les variations de ff sur son ensemble de définition, avec des flèches ↗\nearrow (croissante) ou ↘\searrow (décroissante).

4. Extremums

Définitions

  • ff admet un maximum MM sur II si f(x)≤Mf(x) \leq M pour tout x∈Ix \in I, atteint en au moins un point.
  • ff admet un minimum mm sur II si f(x)≥mf(x) \geq m pour tout x∈Ix \in I.

5. Parité

Fonctions paires et impaires

Soit ff définie sur un ensemble symétrique par rapport à 0.

  • Paire : f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) — courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
  • Impaire : f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) — courbe symétrique par rapport à l'origine.

Exemples : x↦x2x \mapsto x^2 paire, x↦x3x \mapsto x^3 impaire.

Récapitulatif : à retenir absolument

f:x↦f(x)f : x \mapsto f(x)associe aˋ x un unique f(x)\text{associe \`a } x \text{ un unique } f(x)
Image de a\text{Image de } af(a)f(a)
Anteˊceˊdent de b\text{Ant\'ec\'edent de } bx tel que f(x)=bx \text{ tel que } f(x) = b
Croissante sur I\text{Croissante sur } Ia≤b⇒f(a)≤f(b)a \leq b \Rightarrow f(a) \leq f(b)
Deˊcroissante\text{D\'ecroissante}a≤b⇒f(a)≥f(b)a \leq b \Rightarrow f(a) \geq f(b)
Paire\text{Paire}f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)
Impaire\text{Impaire}f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)

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