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Fonctions trigonométriques — Terminale

Terminale Spécialité Mathématiques · Dérivées composées, limites usuelles et résolution d'équations

1. Rappels : propriétés clés

Parité et périodicité

  • cos⁡\cos est paire et 2π2\pi-périodique.
  • sin⁡\sin est impaire et 2π2\pi-périodique.
  • Pour tout xx : cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1.

2. Dérivées

Formules de base

(sin⁡x)′=cos⁡x(cos⁡x)′=−sin⁡x(\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = -\sin x

Dérivées composées

FonctionDérivée
sin⁡u\sin uu′cos⁡uu' \cos u
cos⁡u\cos u−u′sin⁡u-u' \sin u
sin⁡(ax+b)\sin(ax+b)acos⁡(ax+b)a\cos(ax+b)
cos⁡(ax+b)\cos(ax+b)−asin⁡(ax+b)-a\sin(ax+b)

3. Limites usuelles

En 0

lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1
lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2}

Conséquence : au voisinage de 0, sin⁡x≈x\sin x \approx x et cos⁡x≈1−x22\cos x \approx 1 - \tfrac{x^2}{2}.

4. Équations trigonométriques

Équations de base

cos⁡x=cos⁡a\cos x = \cos a

x=a+2kπoux=−a+2kπ(k∈Z)x = a + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -a + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})

sin⁡x=sin⁡a\sin x = \sin a

x=a+2kπoux=π−a+2kπ(k∈Z)x = a + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - a + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})

5. Applications

Étude de fonctions trigonométriques

  • Réduire l'étude à une période de longueur 2π2\pi.
  • Exploiter la parité pour réduire à [0,π][0, \pi].
  • Dériver et étudier le signe de f′f'.
  • Tracer le graphe sur une période, puis extrapoler par périodicité.

Récapitulatif : à retenir absolument

(sin⁡x)′(\sin x)'cos⁡x\cos x
(cos⁡x)′(\cos x)'−sin⁡x-\sin x
(sin⁡u)′(\sin u)'u′cos⁡uu' \cos u
(cos⁡u)′(\cos u)'−u′sin⁡u-u' \sin u
lim⁡x→0sin⁡xx\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}11
lim⁡x→01−cos⁡xx2\lim_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}12\dfrac{1}{2}
cos⁡x=cos⁡a\cos x = \cos ax=±a+2kπx = \pm a + 2k\pi
sin⁡x=sin⁡a\sin x = \sin ax=a+2kπ ou π−a+2kπx=a+2k\pi \text{ ou } \pi - a + 2k\pi

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