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Vecteurs, droites & plans dans l'espace

Terminale Spécialité Mathématiques · Géométrie vectorielle 3D, représentations paramétriques et équations

1. Vecteurs dans l'espace

Opérations

Les opérations (somme, multiplication par un réel) s'étendent de R2\mathbb{R}^2 à R3\mathbb{R}^3.

  • Colinéarité : u⃗ et v⃗ colineˊaires\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ colin\'eaires} ⟺ ∃ k∈R,  v⃗=ku⃗\exists\, k \in \mathbb{R},\; \vec{v} = k\vec{u}.
  • Coplanaires : trois vecteurs u⃗,v⃗,w⃗\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} sont coplanaires si l'un est combinaison linéaire des deux autres.

2. Repères et coordonnées

Base et repère

Trois vecteurs non coplanaires (i⃗,j⃗,k⃗)(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) forment une base. Tout vecteur se décompose de façon unique :

u⃗=x i⃗+y j⃗+z k⃗\vec{u} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j} + z\,\vec{k}

On note u⃗(x;y;z)\vec{u}(x;y;z). Pour deux points A(xA,yA,zA)A(x_A, y_A, z_A) et B(xB,yB,zB)B(x_B, y_B, z_B) :

AB→  (xB−xA,  yB−yA,  zB−zA)\overrightarrow{AB}\;(x_B - x_A,\; y_B - y_A,\; z_B - z_A)

3. Représentation paramétrique d'une droite

Droite (A, u)

La droite passant par A(x0,y0,z0)A(x_0, y_0, z_0) et de vecteur directeur u⃗(a,b,c)\vec{u}(a, b, c) est l'ensemble des M(x,y,z)M(x,y,z) tels que AM→=tu⃗\overrightarrow{AM} = t\vec{u} avec t∈Rt \in \mathbb{R} :

{x=x0+tay=y0+tbz=z0+tc\begin{cases} x = x_0 + ta \\ y = y_0 + tb \\ z = z_0 + tc \end{cases}

4. Représentation paramétrique d'un plan

Plan (A, u, v)

Le plan passant par AA et dirigé par u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} non colinéaires est l'ensemble des MM tels que AM→=su⃗+tv⃗\overrightarrow{AM} = s\vec{u} + t\vec{v} :

{x=x0+sa+ta′y=y0+sb+tb′z=z0+sc+tc′(s,t∈R)\begin{cases} x = x_0 + s a + t a' \\ y = y_0 + s b + t b' \\ z = z_0 + s c + t c' \end{cases} \quad (s, t \in \mathbb{R})

5. Positions relatives

Deux droites

  • Coplanaires : sécantes (1 point commun) ou parallèles (vecteurs directeurs colinéaires).
  • Non coplanaires : aucune intersection, vecteurs non colinéaires.

Deux plans

  • Parallèles : les couples de vecteurs directeurs engendrent la même direction.
  • Sécants : leur intersection est une droite.

Droite et plan

  • Droite parallèle au plan : u⃗\vec{u} est combinaison des directeurs du plan.
  • Droite incluse : en plus, un point de la droite appartient au plan.
  • Droite sécante : un seul point commun.

Récapitulatif : à retenir absolument

u⃗ et v⃗ colineˊaires\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ colin\'eaires}v⃗=ku⃗\vec{v} = k\vec{u}
Coplanaires\text{Coplanaires}w⃗=au⃗+bv⃗\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}
Base\text{Base}(i⃗,j⃗,k⃗) non coplanaires(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \text{ non coplanaires}
Droite\text{Droite}M=A+tu⃗M = A + t\vec{u}
Plan\text{Plan}M=A+su⃗+tv⃗M = A + s\vec{u} + t\vec{v}

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