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Maths2nde

Vecteurs dans le plan

2nde · Translations, coordonnées, somme, colinéarité et relation de Chasles

1. Définition

Vecteur et translation

Un vecteur AB→\overrightarrow{AB} est caractérisé par :

  • Une direction (celle de la droite (AB)(AB)).
  • Un sens (de AA vers BB).
  • Une norme (longueur ABAB).

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme : AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} ⟺ ABDCABDC est un parallélogramme.

2. Coordonnées d'un vecteur

Formule

Dans un repère, si A(xA,yA)A(x_A, y_A) et B(xB,yB)B(x_B, y_B) :

AB→  (xB−xA ; yB−yA)\overrightarrow{AB}\;(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)
∥AB→∥=(xB−xA)2+(yB−yA)2\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

3. Somme et produit par un réel

Opérations

Si u⃗(x,y)\vec{u}(x,y) et v⃗(x′,y′)\vec{v}(x',y'), et k∈Rk \in \mathbb{R} :

u⃗+v⃗  (x+x′ ; y+y′)\vec{u} + \vec{v}\;(x + x'\,;\,y + y')
ku⃗  (kx ; ky)k \vec{u}\;(kx\,;\,ky)

Relation de Chasles :

AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

4. Colinéarité

Définition et critère

u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} non nuls sont colinéaires s'il existe k∈Rk \in \mathbb{R} tel que v⃗=ku⃗\vec{v} = k\vec{u}.

Critère analytique : u⃗(x,y)\vec{u}(x,y) et v⃗(x′,y′)\vec{v}(x',y') sont colinéaires ⟺

xy′−x′y=0xy' - x'y = 0

5. Applications

Alignement et parallélisme

  • A, B, C alignés ⟺ AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} colinéaires.
  • (AB) // (CD) ⟺ AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} colinéaires.
  • Parallélogramme ABDCABDC ⟺ AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.
  • Milieu de [AB][AB] : II tel que AI→=12AB→\overrightarrow{AI} = \tfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.

Récapitulatif : à retenir absolument

AB→(xB−xA;yB−yA)\overrightarrow{AB}(x_B-x_A ; y_B-y_A)coordonneˊes\text{coordonn\'ees}
∥AB→∥\|\overrightarrow{AB}\|(xB−xA)2+(yB−yA)2\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
Chasles\text{Chasles}AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
Colineˊaires\text{Colin\'eaires}v⃗=ku⃗\vec{v} = k\vec{u}
Criteˋre\text{Crit\`ere}xy′−x′y=0xy' - x'y = 0

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